Câu 1: Dùng biến đổi tương đương:

a/ \(3\left(m+1\right)+m< 4\left(2+m\right)\)

\(\Leftrightarrow3m+3+m< 8+4m\)

\(\Leftrightarrow4m+3< 8+4m\)

\(\Leftrightarrow3< 8\) (đúng), vậy BĐT ban đầu là đúng

b/ \(\left(m-2\right)^2>m\left(m-4\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+4>m^2-4m\)

\(\Leftrightarrow4>0\) (đúng), vậy BĐT ban đầu đúng

Câu 2:

a/ \(b\left(b+a\right)\ge ab\)

\(\Leftrightarrow b^2+ab\ge ab\)

\(\Leftrightarrow b^2\ge0\) (luôn đúng), vậy BĐT ban đầu đúng

b/ \(a^2-ab+b^2\ge ab\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Câu 3:

a/ \(10a^2-5a+1\ge a^2+a\)

\(\Leftrightarrow9a^2-6a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(3a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

b/ \(a^2-a\le50a^2-15a+1\)

\(\Leftrightarrow49a^2-14a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(7a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Câu 4:

Ta có: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

\(\Rightarrow VT=\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)

\(\Rightarrow VT< 2\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

\(\Rightarrow VT< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\)

Câu 5: Biến đổi tương đương:

\(\left(ab+cd\right)^2\le\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(ab\right)^2+2abcd+\left(cd\right)^2\le\left(ab\right)^2+\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(cd\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(ad\right)^2-2ad.bc+\left(bc\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 1 :

Ta có : \(\frac{x^2+x+1}{x^2+1}=0\)

=> \(\frac{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}{x^2+1}=0\)

Ta thấy \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\\x^2+1>0\end{matrix}\right.\)

=> \(\frac{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}{x^2+1}>0\)

Vậy phương trình vô nghiệm .

Bài 3 :

a, ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}m-2\ne0\\m\ne0\end{matrix}\right.\) => \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne2\\m\ne0\end{matrix}\right.\)

Ta có : \(A=\frac{m+1}{m-2}-\frac{1}{m}\)

=> \(A=\frac{\left(m+1\right)m}{\left(m-2\right)m}-\frac{m-2}{m\left(m-2\right)}\)

=> \(A=\frac{m^2+m-m+2}{\left(m-2\right)m}=\frac{m^2+2}{m\left(m-2\right)}\)

Ta có : \(B=\frac{m+2}{m-2}+\frac{1}{m}\)

=> \(B=\frac{\left(m+2\right)m}{\left(m-2\right)m}+\frac{m-2}{m\left(m-2\right)}\)

=> \(B=\frac{m^2+2m+m-2}{\left(m-2\right)m}=\frac{m^2+3m-2}{m\left(m-2\right)}\)

c, Thay A = 1 ta được phương trình :\(\frac{m^2+2}{m\left(m-2\right)}=1\)

=> \(m^2+2=m\left(m-2\right)\)

=> \(-2m=2\)

=> \(m=-1\) ( TM )

Vậy m có giá trị bằng 1 khi A = 1 .

b, - Để A = B thì : \(\frac{m^2+2}{m\left(m-2\right)}=\frac{m^2+3m-2}{m\left(m-2\right)}\)

=> \(m^2+2=m^2+3m-2\)

=> \(3m=4\)

=> \(m=\frac{4}{3}\)

Vậy với A = B thì m có giá trị là 4/3 .

d, Ta có : A + B = 0 .

=> \(\frac{m^2+2}{m\left(m-2\right)}+\frac{m^2+3m-2}{m\left(m-2\right)}=0\)

=> \(2m^2+3m=0\)

=> \(m\left(2m+3\right)\)=0

=> \(\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy m = 0 hoăc m = -3/2 khi A + B = 0 .

\(\frac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\(\text{VT}=\frac{a^4}{a^2b}+\frac{b^4}{b^2c}+\frac{c^4}{c^2a}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\) $(1)$

Vì $a+b+c=1$ nên

\(a^2+b^2+c^2=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=(a^3+ab^2+b^3+bc^2+c^3+ca^2)+(a^2b+b^2c+c^2a)\)

Áp dụng AM-GM:

\(a^3+ab^2\geq 2a^2b\). Tương tự cho $2$ cặp còn lại suy ra:

\(a^3+b^3+c^3+ab^2+bc^2+ca^2\geq 2(a^2b+b^2c+c^2a)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)\) $(2)$

Từ \((1),(2)\Rightarrow \text{VT}\geq 3(a^2+b^2+c^2)\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$